この問題は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 < 0$ を解く。 (2) 円の弦に関する問題で、$x$ の値を求める。ただし、ABとCDは円の弦である。 (3) 2進数 $11010_{(2)}$ を10進数で表す。

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 < 0$ を解く。

(2) 円の弦に関する問題で、$x$ の値を求める。ただし、ABとCDは円の弦である。

(3) 2進数 $11010_{(2)}$ を10進数で表す。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 < 0$ を解く。

まず、左辺を因数分解します。

$x^2 + 6x - 16 = (x+8)(x-2)$

したがって、不等式は $(x+8)(x-2) < 0$ となります。

この不等式が成り立つのは、$x+8$ と $x-2$ の符号が異なる場合です。

つまり、$x+8 > 0$ かつ $x-2 < 0$、または $x+8 < 0$ かつ $x-2 > 0$ のいずれかです。

前者の場合、$x > -8$ かつ $x < 2$ なので、$-8 < x < 2$ となります。

後者の場合、$x < -8$ かつ $x > 2$ となり、これは同時に成り立つことはありません。

したがって、$-8 < x < 2$ が解となります。

(2) 円の弦に関する問題。円の内部で交わる2つの弦AB, CDについて、弦の交点をPとすると、$AP \cdot PB = CP \cdot PD$ が成り立ちます。

問題の図から、$AP = x$, $PB = 8$, $CP = 3$, $PD = 12$ とわかります。

したがって、$x \cdot 8 = 3 \cdot 12$ となります。

$8x = 36$

$x = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

(3) 2進数 $11010_{(2)}$ を10進数で表す。

2進数は、各桁が $2$ のべき乗を表します。右から順に、$2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$ となります。

$11010_{(2)} = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$

$= 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1$

$= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26$

3. 最終的な答え

(1) $-8 < x < 2$

(2) $x = \frac{9}{2}$

(3) $26$