(1) $30! = 3^m k$ ($k=3a$, $a$は自然数)が成り立つとき、整数 $m$ の値を求める問題。 (2) $\sqrt{n^2+35}$ が整数であるような自然数 $n$ の値を求める問題。 (3) $\frac{-4}{x(x+1)(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるとき、$a, b, c$ の値を求める問題。 (4) $i$ を虚数単位, $s, t$ を実数とする. $\frac{2+si}{t+3i} = 1+i$ ならば、$s, t$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $30! = 3^m k$ ($k=3a$, $a$は自然数)が成り立つとき、整数 $m$ の値を求める問題。

(2) $\sqrt{n^2+35}$ が整数であるような自然数 $n$ の値を求める問題。

(3) $\frac{-4}{x(x+1)(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるとき、$a, b, c$ の値を求める問題。

(4) $i$ を虚数単位, $s, t$ を実数とする. $\frac{2+si}{t+3i} = 1+i$ ならば、$s, t$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 30!の中に3がいくつ含まれているかを数える。

30 ÷ 3 = 10

10 ÷ 3 = 3 あまり 1

3 ÷ 3 = 1

よって、30!には3が 10 + 3 + 1 = 14 個含まれている。

$30! = 3^{14} k$ と表せる。ここで、$k$ は $3$ の倍数ではない。

しかし、$k$ は $3a$ という形をしているため、$k = 3k'$ ($k'$ は自然数)と表せる。

よって、$30! = 3^{14} (3k') = 3^{15} k'$ ($k'$ は3の倍数ではない)

したがって、$m=14$

(2) $\sqrt{n^2+35} = k$ ($k$は整数)とおく。

$n^2+35 = k^2$

$k^2 - n^2 = 35$

$(k+n)(k-n) = 35$

$k+n$ と $k-n$ は整数なので、$(k+n, k-n)$ の組み合わせは $(35, 1), (7, 5), (5, 7), (1, 35)$ である。

$k+n = 35, k-n = 1$ のとき、$2k = 36$, $k = 18$, $n = 17$

$k+n = 7, k-n = 5$ のとき、$2k = 12$, $k = 6$, $n = 1$

$k+n = 5, k-n = 7$ のとき、$2k = 12$, $k = 6$, $n = -1$

$k+n = 1, k-n = 35$ のとき、$2k = 36$, $k = 18$, $n = -17$

$n$は自然数なので、$n = 1, 17$

(3) $\frac{-4}{x(x+1)(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1}$

両辺に $x(x+1)(x-1)$ をかけると

$-4 = a(x+1)(x-1) + bx(x-1) + cx(x+1)$

$-4 = a(x^2-1) + b(x^2-x) + c(x^2+x)$

$-4 = (a+b+c)x^2 + (-b+c)x - a$

$x^2$ の係数を比較して、$a+b+c = 0$

$x$ の係数を比較して、$-b+c = 0$

定数項を比較して、$-a = -4$

したがって、$a = 4, -b+c = 0, 4+b+c = 0$

$c = b$ より、$4+2b = 0$, $b = -2$

$c = b = -2$

したがって、$a = 4, b = -2, c = -2$

(4) $\frac{2+si}{t+3i} = 1+i$

$2+si = (1+i)(t+3i)$

$2+si = t+3i+ti-3$

$2+si = (t-3) + (t+3)i$

実部を比較して、$2 = t-3$

虚部を比較して、$s = t+3$

したがって、$t = 5, s = 5+3 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $m = 14$

(2) $n = 1, 17$

(3) $a = 4, b = -2, c = -2$

(4) $s = 8, t = 5$