関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。選択肢の中から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。選択肢の中から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= -3x^2 + 6ax + 2a + 1 \\

&= -3(x^2 - 2ax) + 2a + 1 \\

&= -3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a + 1 \\

&= -3(x - a)^2 + 3a^2 + 2a + 1

\end{align*}

したがって、関数 $f(x)$ は $x = a$ で最大値 $3a^2 + 2a + 1$ を取ります。

次に、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 6$ において $f(x)$ は単調減少なので、$x = 0$ で最大値を取ります。

このとき、最大値は $f(0) = -3(0)^2 + 6a(0) + 2a + 1 = 2a + 1$。

(ii) $0 \le a \le 6$ のとき、定義域 $0 \le x \le 6$ に軸 $x = a$ が含まれるので、$x = a$ で最大値を取ります。

このとき、最大値は $f(a) = 3a^2 + 2a + 1$。

(iii) $6 < a$ のとき、定義域 $0 \le x \le 6$ において $f(x)$ は単調増加なので、$x = 6$ で最大値を取ります。

このとき、最大値は $f(6) = -3(6)^2 + 6a(6) + 2a + 1 = -108 + 36a + 2a + 1 = 38a - 107$。

したがって、

$a < 0$ のとき、最大値 $2a+1$

$0 \le a \le 6$ のとき、最大値 $3a^2 + 2a + 1$

$6 < a$ のとき、最大値 $38a - 107$

3. 最終的な答え

オ：0

カ：2a+1

キ：6

ク：3a^2 + 2a + 1

ケ：38a - 107