(1) 絶対値を含む方程式 $|x+2| = 2x + 7$ を解きます。 (2) 絶対値を含む不等式 $|x-2| < \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む方程式 $|x+2| = 2x + 7$ を解きます。

(2) 絶対値を含む不等式 $|x-2| < \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $|x+2| = 2x + 7$ を解く

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x+2 \geq 0$、つまり $x \geq -2$ のとき

$|x+2| = x+2$ なので、方程式は

$x+2 = 2x+7$

$x - 2x = 7 - 2$

$-x = 5$

$x = -5$

$x = -5$ は $x \geq -2$ を満たさないので、解ではありません。

(ii) $x+2 < 0$、つまり $x < -2$ のとき

$|x+2| = -(x+2)$ なので、方程式は

$-(x+2) = 2x+7$

$-x - 2 = 2x + 7$

$-x - 2x = 7 + 2$

$-3x = 9$

$x = -3$

$x = -3$ は $x < -2$ を満たすので、解です。

(2) 不等式 $|x-2| < \frac{1}{2}x + 1$ を解く

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x-2 \geq 0$、つまり $x \geq 2$ のとき

$|x-2| = x-2$ なので、不等式は

$x-2 < \frac{1}{2}x + 1$

$x - \frac{1}{2}x < 1 + 2$

$\frac{1}{2}x < 3$

$x < 6$

$x \geq 2$ かつ $x < 6$ なので、$2 \leq x < 6$。

(ii) $x-2 < 0$、つまり $x < 2$ のとき

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、不等式は

$-x+2 < \frac{1}{2}x + 1$

$-x - \frac{1}{2}x < 1 - 2$

$-\frac{3}{2}x < -1$

$\frac{3}{2}x > 1$

$x > \frac{2}{3}$

$x < 2$ かつ $x > \frac{2}{3}$ なので、$\frac{2}{3} < x < 2$。

(i), (ii) より、$\frac{2}{3} < x < 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = -3$

(2) $\frac{2}{3} < x < 6$