問題は、次の2つの2次不等式の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 - mx + 1 > 0$ (2) $-x^2 + mx + 2m \le 0$

代数学二次不等式判別式不等式の解
2025/8/14

1. 問題の内容

問題は、次の2つの2次不等式の解がすべての実数であるとき、定数 mm の値の範囲を求める問題です。
(1) x2mx+1>0x^2 - mx + 1 > 0
(2) x2+mx+2m0-x^2 + mx + 2m \le 0

2. 解き方の手順

(1) x2mx+1>0x^2 - mx + 1 > 0 の場合:
2次不等式の解がすべての実数であるためには、2次関数 y=x2mx+1y = x^2 - mx + 1 のグラフが常に xx 軸より上にある必要があります。つまり、放物線が xx 軸と交わらないか、接する場合に x2mx+1=0x^2 - mx + 1 = 0 の判別式 DDD<0D < 0 となります。
D=(m)2411=m24<0D = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4 < 0
m2<4m^2 < 4
2<m<2-2 < m < 2
(2) x2+mx+2m0-x^2 + mx + 2m \le 0 の場合:
2次不等式の解がすべての実数であるためには、2次関数 y=x2+mx+2my = -x^2 + mx + 2m のグラフが常に xx 軸より下にあるか、接する必要があります。つまり、放物線が xx 軸と交わらないか、接する場合に x2+mx+2m=0-x^2 + mx + 2m = 0 の判別式 DDD0D \le 0 となります。
D=m24(1)(2m)=m2+8m0D = m^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (2m) = m^2 + 8m \le 0
m(m+8)0m(m + 8) \le 0
8m0-8 \le m \le 0

3. 最終的な答え

(1) 2<m<2-2 < m < 2
(2) 8m0-8 \le m \le 0

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