放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ が与えられている。 (1) この放物線の頂点Aの座標を求める。 (2) この放物線を $x$ 軸方向に 2、$y$ 軸方向に -1 だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ が与えられている。

(1) この放物線の頂点Aの座標を求める。

(2) この放物線を $x$ 軸方向に 2、$y$ 軸方向に -1 だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた放物線の方程式を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x-1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 3$

したがって、頂点 A の座標は $(1, -3)$ である。

(2)

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を、$x$ 軸方向に 2、$y$ 軸方向に -1 だけ平行移動すると、方程式は次のようになる。

$y - (-1) = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 7$

$y + 1 = 2x^2 - 12x + 15$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

または、頂点 $(1,-3)$ を $x$ 軸方向に 2、$y$ 軸方向に -1 だけ平行移動すると、新しい頂点は $(1+2, -3-1) = (3, -4)$ となる。

したがって、移動後の放物線の方程式は

$y = 2(x-3)^2 - 4$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

(1) 頂点Aの座標: $(1, -3)$

(2) 移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$