放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) この放物線の頂点Aの座標を求めます。 (2) この放物線をx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) この放物線の頂点Aの座標を求めます。

(2) この放物線をx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める

まず、放物線の方程式を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x - 1 = 2(x^2 - 2x) - 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = 2((x - 1)^2 - 1) - 1 = 2(x - 1)^2 - 2 - 1 = 2(x - 1)^2 - 3$

したがって、頂点Aの座標は(1, -3)です。

(2) 平行移動後の放物線の方程式を求める

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ をx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動します。

平行移動後の放物線の方程式は、元の放物線の式において、$x$を$x - 2$に、$y$を$y + 1$に置き換えることで得られます。

$y + 1 = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1 - 1$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 6$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

あるいは、(1)で求めた頂点の座標(1, -3)をx軸方向に2, y軸方向に-1だけ平行移動すると、新しい頂点の座標は(1+2, -3-1) = (3, -4)となります。

よって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y = 2(x - 3)^2 - 4 = 2(x^2 - 6x + 9) - 4 = 2x^2 - 12x + 18 - 4 = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

(1) 頂点Aの座標: (1, -3)

(2) 平行移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$