定積分 $\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x \right) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x \right) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x = \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{2}x$

次に、不定積分を計算します。

$\int \left( \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{2}x \right) dx = \frac{3}{8} \int x^2 dx - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{3}{8} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{2}x \right) dx = \left[ \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{4}x^2 \right]_{1}^{2} = \left( \frac{1}{8}(2)^3 - \frac{1}{4}(2)^2 \right) - \left( \frac{1}{8}(1)^3 - \frac{1}{4}(1)^2 \right)$

$= \left( \frac{1}{8}(8) - \frac{1}{4}(4) \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right) = (1 - 1) - \left( \frac{1}{8} - \frac{2}{8} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$