次の不定積分を求めなさい。 $\int (5x^2 + 2x + 1) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。

$\int (5x^2 + 2x + 1) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。不定積分の性質より、それぞれの項を個別に積分できます。

$\int (5x^2 + 2x + 1) dx = \int 5x^2 dx + \int 2x dx + \int 1 dx$

次に、定数倍の積分は、定数を積分の外に出すことができます。

$= 5 \int x^2 dx + 2 \int x dx + \int 1 dx$

$x^n$ の積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ であり、定数の積分は $x$ です。

$= 5 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

$= \frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$