次の不定積分を求める問題です。 $\int (5x^3 + 4x^2 - 2x + 7) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int (5x^3 + 4x^2 - 2x + 7) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、それぞれの項ごとに積分し、最後に積分定数 $C$ を加えます。

* $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて、各項を積分します。

* $5x^3$ の積分は、 $\int 5x^3 dx = 5 \int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4}x^4$

* $4x^2$ の積分は、 $\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

* $-2x$ の積分は、 $\int -2x dx = -2 \int x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$

* $7$ の積分は、 $\int 7 dx = 7x$

よって、

$\int (5x^3 + 4x^2 - 2x + 7) dx = \frac{5}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 7x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 7x + C$