与えられた放物線 $y = ax^2$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値と点Aの $y$ 座標を求めます。 (2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。 (3) 直線ABの式を求めます。 (4) 三角形OABの面積を求めます。

## 問題34

1. 問題の内容

与えられた放物線 $y = ax^2$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値と点Aの $y$ 座標を求めます。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。

(3) 直線ABの式を求めます。

(4) 三角形OABの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、点B(2, 8)を通ることがわかります。この点を $y = ax^2$ に代入して $a$ の値を求めます。

$8 = a \times 2^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、関数は $y = 2x^2$ となります。点Aの $x$ 座標は-4なので、点Aの $y$ 座標は $y = 2 \times (-4)^2 = 2 \times 16 = 32$ となります。

(2)

$y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最小値は $x=0$ のときの $y=0$ です。$x=-3$のとき、$y = 2 \times (-3)^2 = 18$であり、$x=1$のとき、$y=2 \times (1)^2 = 2$であるから、最大値は $y=18$ となります。したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ となります。

(3)

点A(-4, 32)と点B(2, 8)を通る直線の式を $y = mx + n$ とします。

2点の座標を代入して連立方程式を立てます。

$32 = -4m + n$

$8 = 2m + n$

2つの式を引き算すると、

$24 = -6m$

$m = -4$

$8 = 2 \times (-4) + n$

$8 = -8 + n$

$n = 16$

したがって、直線ABの式は $y = -4x + 16$ となります。

(4)

三角形OABの面積を求めます。直線ABと $y$ 軸との交点をCとすると、Cの座標は(0, 16)です。三角形OABの面積は、三角形OACの面積から三角形OBCの面積を引いたものとして計算できます。

三角形OACの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times |x_A| = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$ です。

三角形OBCの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times x_B = \frac{1}{2} \times 16 \times 2 = 16$ です。

したがって、三角形OABの面積は $32 - 16 = 48$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, 点Aの $y$ 座標: 32

(2) $0 \le y \le 18$

(3) $y = -4x + 16$

(4) 48