4つの数式に関する問題で、それぞれ空欄を埋める問題です。 (1) $2(A+B) - 3(A-B)$ を計算する。 (2) $(x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3x + 1)$ を展開した時の $x^2$ の係数を求める。 (3) $3x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 1$ を因数分解する。 (4) $a = 3 - \sqrt{10}$ のとき、$\sqrt{a^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

4つの数式に関する問題で、それぞれ空欄を埋める問題です。

(1) $2(A+B) - 3(A-B)$ を計算する。

(2) $(x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3x + 1)$ を展開した時の $x^2$ の係数を求める。

(3) $3x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 1$ を因数分解する。

(4) $a = 3 - \sqrt{10}$ のとき、$\sqrt{a^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A+B$ と $A-B$ を計算します。

$A+B = (4x^2 - 4x - 5) + (x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 2x - 6$

$A-B = (4x^2 - 4x - 5) - (x^2 + 2x - 1) = 3x^2 - 6x - 4$

次に、$2(A+B) - 3(A-B)$ を計算します。

$2(A+B) = 2(5x^2 - 2x - 6) = 10x^2 - 4x - 12$

$3(A-B) = 3(3x^2 - 6x - 4) = 9x^2 - 18x - 12$

$2(A+B) - 3(A-B) = (10x^2 - 4x - 12) - (9x^2 - 18x - 12) = x^2 + 14x$

(2)

$(x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3x + 1)$ を展開して、$x^2$ の項のみ計算します。

$x^2 \cdot 1 + 2x \cdot (-3x) + (-1) \cdot 2x^2 = x^2 - 6x^2 - 2x^2 = -7x^2$

よって、$x^2$ の係数は -7 です。

(3)

$3x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 1 = 3x^2 - 4x + 1 - (y^2 + 2xy) = (3x - 1)(x - 1) - y(y + 2x)$

この式は、$3x^2 - (y^2 + 2xy + 4x - 1)$

より、$3x^2 - 4x +1 - (y+x)^2 -x^2$

$=(3x-y-x-1)(x+y+x+1)$

$= (2x - y - 1)(4x-y+1)$

$(3x+y)(x+y)$となりません。

問題文の誘導を見ると、$3x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 1$を因数分解すると、$(3x+ax+b)(x+cx+d)$の形になる。

$3x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 1 = 3x^2 - 4x+1 - (y^2+2xy) = (3x-1)(x-1) - y(2x+y)$

ここで、$3x^2-4x+1- (y+x)^2 +x^2 =4x^2-4x+1 - (y+x)^2= (2x-1)^2-(y+x)^2=(2x-1+y+x)(2x-1-y-x)= (3x+y-1)(x-y-1)$

(4)

$a = 3 - \sqrt{10}$ のとき、$\sqrt{a^2}$ を求めます。

$\sqrt{a^2} = |a|$

$3 - \sqrt{10} < 0$ なので、$a < 0$

したがって、$\sqrt{a^2} = |a| = -a = -(3 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3$

3. 最終的な答え

(1) 14

(2) -7

(3) $y-1$

(4) $\sqrt{10}-3$