数列 $\{a_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。 (1) $n=1, 2, 3, 4$ に対して、 $2(n+1)a_n$ の値をそれぞれ求める。 (2) $a_n$ の一般項を推定し、推定した式がすべての自然数 $n$ に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。 (3) $a_n > \frac{1}{2} + \frac{100}{n^2}$ を満たす最小の $n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。

(1) $n=1, 2, 3, 4$ に対して、 $2(n+1)a_n$ の値をそれぞれ求める。

(2) $a_n$ の一般項を推定し、推定した式がすべての自然数 $n$ に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

(3) $a_n > \frac{1}{2} + \frac{100}{n^2}$ を満たす最小の $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ の式を整理します。

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a_n = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right) = \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{(k+1)^2 - 1}{(k+1)^2} \right) = \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{k^2 + 2k}{(k+1)^2} \right) = \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} \right)

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$a_n$ は以下のように変形できます。

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a_n = \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdots \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (n+2))}{(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (n+1))^2}

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a_n = \frac{n! \cdot \frac{(n+2)!}{2!}}{((n+1)!)^2} = \frac{n! (n+2)!}{2 (n+1)! (n+1)!} = \frac{n! (n+2)(n+1)n!}{2 (n+1)! (n+1)!} = \frac{n! n! (n+1)(n+2)}{2(n+1)! (n+1)!}

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a_n = \frac{(n+2)}{2(n+1)}

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したがって、$a_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$ です。

$2(n+1) a_n = n+2$ となります。

$n=1$ のとき $2(1+1) a_1 = 1+2 = 3$

$n=2$ のとき $2(2+1) a_2 = 2+2 = 4$

$n=3$ のとき $2(3+1) a_3 = 3+2 = 5$

$n=4$ のとき $2(4+1) a_4 = 4+2 = 6$

(2) $a_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$ であると推定します。これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ であり、$\frac{1+2}{2(1+1)} = \frac{3}{4}$ なので、$n=1$ のとき正しいです。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k+2}{2(k+1)}$ が正しいと仮定します。

$n=k+1$ のとき、

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a_{k+1} = a_k \left( 1 - \frac{1}{(k+2)^2} \right) = \frac{k+2}{2(k+1)} \cdot \frac{(k+2)^2 - 1}{(k+2)^2} = \frac{k+2}{2(k+1)} \cdot \frac{k^2 + 4k + 3}{(k+2)^2}

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= \frac{k+2}{2(k+1)} \cdot \frac{(k+1)(k+3)}{(k+2)^2} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{2(k+1)(k+2)^2} = \frac{k+3}{2(k+2)}

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これは $a_{k+1} = \frac{(k+1)+2}{2((k+1)+1)}$ と同じ形なので、$n=k+1$ のときも正しいです。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$ が正しいです。

(3) $a_n > \frac{1}{2} + \frac{100}{n^2}$ を満たす最小の $n$ を求めます。

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\frac{n+2}{2(n+1)} > \frac{1}{2} + \frac{100}{n^2}

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\frac{n+2}{2(n+1)} - \frac{1}{2} > \frac{100}{n^2}

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\frac{n+2 - (n+1)}{2(n+1)} > \frac{100}{n^2}

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\frac{1}{2(n+1)} > \frac{100}{n^2}

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n^2 > 200(n+1)

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n^2 - 200n - 200 > 0

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$n^2 - 200n - 200 = 0$ の解は

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n = \frac{200 \pm \sqrt{200^2 - 4(1)(-200)}}{2} = \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 800}}{2} = \frac{200 \pm \sqrt{40800}}{2} = 100 \pm \sqrt{10200}

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$100 < \sqrt{10200} < 101$ なので、

$n \approx 100 \pm 100.995$ となります。

$n > 0$ より、$n > 100 + \sqrt{10200} \approx 200.995$

$n$ は整数なので、$n \geq 201$ となります。

$n=201$ のとき、$\frac{1}{2(202)} = \frac{1}{404}$ であり、$\frac{100}{201^2} = \frac{100}{40401}$

$\frac{1}{404} > \frac{100}{40401}$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $n=1$ のとき $3$, $n=2$ のとき $4$, $n=3$ のとき $5$, $n=4$ のとき $6$

(2) $a_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$

(3) $201$