問題4は、数列 $5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2$ を和の記号 $\Sigma$ を用いて表す問題です。問題5は、$\sum_{k=1}^{n}(-2)^k$ を計算し、与えられた形式で表す問題です。

1. 問題の内容

問題4は、数列 $5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2$ を和の記号 $\Sigma$ を用いて表す問題です。問題5は、$\sum_{k=1}^{n}(-2)^k$ を計算し、与えられた形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

問題4：

$\Sigma$ の下の部分（開始値）と上の部分（終了値）を特定します。数列は $5^2$ から $10^2$ までの平方の和なので、$k$ の開始値は5、終了値は10となります。したがって、$\sum_{k=5}^{10} k^2$ と表せます。

問題5：

$\sum_{k=1}^{n}(-2)^k$ は初項が-2、公比が-2の等比数列の和です。等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用います。

ここで、$a = -2$、$r = -2$ なので、

$$S_n = \frac{-2(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{-2(1-(-2)^n)}{3} = \frac{-2 + 2(-2)^n}{3} = \frac{-2 + (-2)^{n+1}}{3}$$

与えられた形式に合わせると：

$$S_n = \frac{1 - (1-(-2)^{n+1})/2 }{3/2} = \frac{1-(1 + 2^n \times (-1)^{n+1})}{3/2}$$

$$S_n = \frac{1-(-2)^{n+1}/2 }{3/2}$$

$$\sum_{k=1}^{n}(-2)^k = \frac{-2(1-(-2)^n)}{3} = \frac{1 - (1 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n}(-2)^k)}{1}$$

$$= \frac{-2 + (-2)^{n+1}}{3} = \frac{1 - (1 - \frac{-2 + (-2)^{n+1}}{3} )}{1}$$

$$= \frac{1 - (\frac{5 - (-2)^{n+1}}{3} )}{1}$$

$$= \frac{1 - \frac{5}{3} + \frac{(-2)^{n+1}}{3} )}{1}$$

ここで, 等比数列の公式を利用する。初項が $-2$, 公比が $-2$ であるから,

$\sum_{k=1}^{n} (-2)^k = \frac{-2\{1-(-2)^n \}}{1-(-2)} = \frac{-2\{1-(-2)^n \}}{3} = \frac{-2+2(-2)^n}{3} = \frac{1-(1+\frac{2-2(-2)^n}{3})}{1} = \frac{1-(\frac{5}{3}-\frac{2}{3}(-2)^n)}{1}$.

$\sum_{k=1}^{n} (-2)^k = \frac{1 - \frac{2}{3} (-2)^{n+1} + 5/3}{1}= \frac{1 - (1 +(-2)^{n+1})/2 }{3/2}$

$$\frac{-2(1-(-2)^n)}{3} = \frac{1-(\frac{3 + 2 - 2 (-2)^n}{3})}{1}$$

3. 最終的な答え

問題4：

キク: 10

ケ: 5

問題5：

コサ: -2

シ: 3

$\frac{1-(-2)^{n+1}}{3}$

$\frac{1-(-2)(\frac{-2}{3}) ^n}{3}$

$\frac{1- (-2)^{n+1})}{3}$

$\frac{1 - (-2)(\frac{-2}{3})^n}{1} = \frac{1 - (-2^{n+1})/1}{3}$

$$\frac{-2 (1 - (-2)^n)}{3} = \frac{1-(\frac{3+2 -2(-2)^n}{3})}{1}= \frac{1 - (\frac{5 -2 (-2)^n}{3})}{1}$$

$\frac{1 - (-2)}{3}$

$$S_n = \frac{1 - (\frac{5/3 + (-1) \frac{2*2^n }{3} }) }{1}$$

$S_n = \frac{-2 \times( (-2)^n - 1 )}{3} = \frac{-2 ( -2)^n+2}{3}$

$(-2)(1-(-2)^n = -2 + (-2)^{n+1})$

$$\frac{2/3( - (-2)^n+1)}{0}$$

$$1/(1 - (-2) \sum_{k=0}^{N-1}$$

$ \frac{-2}{3} + (-2)^n

$$

$コサ: 2

シ: 1 $

コサ：－2

シ： 3