数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} + 5a_{n+1} - 6a_n = 0$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} + 5a_{n+1} - 6a_n = 0$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)

2. 解き方の手順

この漸化式は線形2項間漸化式である。

まず、特性方程式を立てる。漸化式 $a_{n+2} + 5a_{n+1} - 6a_n = 0$ を $x^2 + 5x - 6 = 0$ で置き換える。

$x^2 + 5x - 6 = 0$

この特性方程式を解く。

$(x + 6)(x - 1) = 0$

$x = -6, 1$

よって、一般解は

$a_n = A(-6)^n + B(1)^n = A(-6)^n + B$ (A, B は定数)

初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 2$ を用いて A, B を求める。

$a_1 = -6A + B = 1$

$a_2 = 36A + B = 2$

2番目の式から1番目の式を引くと

$42A = 1$

$A = \frac{1}{42}$

これを1番目の式に代入すると

$-6(\frac{1}{42}) + B = 1$

$-\frac{1}{7} + B = 1$

$B = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

したがって、一般項は

$a_n = \frac{1}{42}(-6)^n + \frac{8}{7}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{42}(-6)^n + \frac{8}{7}$