(1) 初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。 (2) 第2項が6、第2項から第4項までの和が42である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

(2) 第2項が6、第2項から第4項までの和が42である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ で表される。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = 21$ …(1)

第3項から第5項までの和は $ar^2 + ar^3 + ar^4 = 84$ …(2)

(2)を $r^2(a + ar + ar^2) = 84$ と変形し、(1)を代入すると、 $21r^2 = 84$。

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r=2$ のとき、(1)より $a + 2a + 4a = 21$。

$7a = 21$

$a = 3$

$r=-2$ のとき、(1)より $a - 2a + 4a = 21$。

$3a = 21$

$a = 7$

したがって、$a=3, r=2$ または $a=7, r=-2$

(2)

第2項が6より、 $ar = 6$ …(3)

第2項から第4項までの和は $ar + ar^2 + ar^3 = 42$ …(4)

(4)を $ar(1 + r + r^2) = 42$ と変形し、(3)を代入すると、$6(1 + r + r^2) = 42$。

$1 + r + r^2 = 7$

$r^2 + r - 6 = 0$

$(r+3)(r-2) = 0$

$r = -3, 2$

$r=2$ のとき、(3)より $2a = 6$。

$a = 3$

$r=-3$ のとき、(3)より $-3a = 6$。

$a = -2$

したがって、$a=3, r=2$ または $a=-2, r=-3$

3. 最終的な答え

(1) $a=3, r=2$ または $a=7, r=-2$

(2) $a=3, r=2$ または $a=-2, r=-3$