次の4つの式を因数分解します。 (1) $x^3 - 7x + 6$ (2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2$ (3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ (4) $x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6$

はい、承知いたしました。次の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解します。

(1) $x^3 - 7x + 6$

(2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2$

(3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$

(4) $x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 7x + 6$

$x=1$ を代入すると $1 - 7 + 6 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x - 6) = (x-1)(x+3)(x-2)$

(2) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2$

$x=-1$ を代入すると $-1 + 4 - 5 + 2 = 0$ となるので、$x+1$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

$x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x+1)(x^2 + 3x + 2) = (x+1)(x+1)(x+2) = (x+1)^2(x+2)$

(3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$

$x=2$ を代入すると $2(8) + 3(4) - 11(2) - 6 = 16 + 12 - 22 - 6 = 0$ となるので、$x-2$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

$2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x-2)(2x^2 + 7x + 3) = (x-2)(2x+1)(x+3)$

(4) $x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6$

$x=1$ を代入すると $1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持つ。

$x=-1$ を代入すると $1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$ となるので、$x+1$ を因数に持つ。

よって、$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ を因数に持つ。

筆算または組み立て除法を行うと、

$x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = (x^2-1)(x^2 + 5x + 6) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+3)(x-2)$

(2) $(x+1)^2(x+2)$

(3) $(x-2)(2x+1)(x+3)$

(4) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$