直線①の式が $y = \frac{3}{4}x + 6$、直線②の式が $y = \frac{3}{2}x$ である。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をB、直線②上の点でx座標が-2の点をCとする。 (1) 点Aの座標を求めよ。 (2) 直線BCの式を求めよ。 (3) $\triangle ABC = \triangle ADC$ となるようなy軸上の点Dの座標をすべて求めよ。

1. 問題の内容

直線①の式が $y = \frac{3}{4}x + 6$、直線②の式が $y = \frac{3}{2}x$ である。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をB、直線②上の点でx座標が-2の点をCとする。

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) 直線BCの式を求めよ。

(3) $\triangle ABC = \triangle ADC$ となるようなy軸上の点Dの座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。

点Aは直線①と直線②の交点なので、連立方程式を解く。

$\begin{cases}

y = \frac{3}{4}x + 6 \\

y = \frac{3}{2}x

\end{cases}$

$\frac{3}{4}x + 6 = \frac{3}{2}x$

$6 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x$

$6 = \frac{6}{4}x - \frac{3}{4}x$

$6 = \frac{3}{4}x$

$x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$

$y = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$

よって、点Aの座標は $(8, 12)$。

(2) 直線BCの式を求める。

点Bは直線①とx軸の交点なので、$y = 0$ を代入して $x$ を求める。

$0 = \frac{3}{4}x + 6$

$-\frac{3}{4}x = 6$

$x = 6 \cdot (-\frac{4}{3}) = -8$

よって、点Bの座標は $(-8, 0)$。

点Cは直線②上の点でx座標が-2なので、$x = -2$ を代入して $y$ を求める。

$y = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$

よって、点Cの座標は $(-2, -3)$。

直線BCの式を $y = ax + b$ とおく。

$\begin{cases}

0 = -8a + b \\

-3 = -2a + b

\end{cases}$

上の式から下の式を引くと、

$3 = -6a$

$a = -\frac{1}{2}$

$0 = -8(-\frac{1}{2}) + b$

$0 = 4 + b$

$b = -4$

よって、直線BCの式は $y = -\frac{1}{2}x - 4$。

(3) $\triangle ABC = \triangle ADC$ となるようなy軸上の点Dの座標をすべて求める。

点Dはy軸上にあるので、座標を $(0, d)$ とする。

$\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ の面積が等しいということは、底辺をACと見たとき、点Bと点Dが直線ACからの距離が等しいということである。つまり、点Bと点Dは直線ACに関して対称な位置にあるか、点B、C、Dが同一直線上に並んでいる。

しかし、点B、Cは同一直線上に存在するので点Dもこの直線上にあると、面積が0になってしまうので$\triangle ABC = \triangle ADC$とはならない。

点A$(8,12)$と点C$(-2,-3)$を通る直線ACの方程式は、

傾きは$\frac{12 - (-3)}{8 - (-2)} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

なので、 $y = \frac{3}{2}x + k$ と表せる。

点Cを通るので、$-3 = \frac{3}{2}(-2) + k$ より、 $-3 = -3 + k$ なので、 $k = 0$

直線ACの式は $y = \frac{3}{2}x$ である。

点B $(-8, 0)$ を通る直線ACに平行な直線 $y = \frac{3}{2}x + l$ を考える。

$0 = \frac{3}{2}(-8) + l$ より、 $0 = -12 + l$ なので、$l = 12$

$y = \frac{3}{2}x + 12$

この直線とy軸の交点はDの候補となるので、y軸との交点は $(0, 12)$

これは点Aと同じなので、点A,C,Dが一直線上にある場合は除く。

もう一つは、直線ACに対してBとDが対称となる場合。

ACは直線$y = \frac{3}{2}x$なので、点(x,y)のACに関する対称点の座標は

$(\frac{x(4-9)+12y}{4+9}, \frac{y(9-4)+12x}{4+9}) = (\frac{-5x+12y}{13}, \frac{5y+12x}{13})$

BのACに関する対称点は

$(\frac{-5(-8)+12(0)}{13}, \frac{5(0)+12(-8)}{13}) = (\frac{40}{13}, \frac{-96}{13})$

点Bを通り直線ACに垂直な直線は$y = -\frac{2}{3}x+n$

$0 = -\frac{2}{3}(-8)+n$

$0 = \frac{16}{3}+n$

$n = -\frac{16}{3}$

$y = -\frac{2}{3}x-\frac{16}{3}$

この直線と直線ACの交点は、

$\frac{3}{2}x = -\frac{2}{3}x-\frac{16}{3}$

$\frac{9}{6}x = -\frac{4}{6}x-\frac{32}{6}$

$\frac{13}{6}x = -\frac{32}{6}$

$x = -\frac{32}{13}$

$y = \frac{3}{2}(-\frac{32}{13}) = -\frac{48}{13}$

交点$(\frac{-32}{13}, \frac{-48}{13})$

点DはBの対称点なので、

$\frac{-32}{13} = \frac{-8+x}{2}$, $\frac{-48}{13} = \frac{0+y}{2}$

$x = \frac{-64}{13}+8 = \frac{-64+104}{13} = \frac{40}{13}$

$y = \frac{-96}{13}$

点Dはy軸上にあるので、$x = 0$である

Dは$(0, d)$なので、BDの中点がAC上にあり、ACに垂直な直線上にある

$\triangle ABC = \frac{1}{2} | (8(0-(-3)) + (-8)(-3-12) + (-2)(12-0) |$

$= \frac{1}{2} | 24+120-24 | = \frac{1}{2}|120| = 60$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} | (8(-3-d) + (-2)(d-12) + 0(12-(-3)) |$

$= \frac{1}{2} | -24-8d-2d+24 | = \frac{1}{2} | -10d | = 5|d|$

$60 = 5|d|$

$|d| = 12$

$d = 12$ or $d = -12$

よって、点Dの座標は $(0, 12)$ または $(0, -12)$。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標: $(8, 12)$

(2) 直線BCの式: $y = -\frac{1}{2}x - 4$

(3) 点Dの座標: $(0, 12), (0, -12)$