円Oの周上に4点A, B, C, Dがある。線分ABの長さは線分CDの長さの2倍である。このとき、扇形OABの面積は扇形OCDの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

円Oの周上に4点A, B, C, Dがある。線分ABの長さは線分CDの長さの2倍である。このとき、扇形OABの面積は扇形OCDの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

まず、弧の長さと中心角の関係を利用する。

円周上の弧の長さは中心角に比例する。線分ABの長さは線分CDの長さの2倍なので、弧ABの長さは弧CDの長さの2倍である。

したがって、扇形OABの中心角は扇形OCDの中心角の2倍である。

扇形の面積は、半径をr、中心角を$\theta$（ラジアン）とすると、$\frac{1}{2}r^2\theta$で表される。

扇形OABの面積を$S_{OAB}$、扇形OCDの面積を$S_{OCD}$とする。

円Oの半径は共通なので、rとする。扇形OCDの中心角を$\theta$とすると、扇形OABの中心角は$2\theta$となる。

よって、

$S_{OAB} = \frac{1}{2}r^2(2\theta) = r^2\theta$

$S_{OCD} = \frac{1}{2}r^2\theta$

したがって、

$\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = \frac{r^2\theta}{\frac{1}{2}r^2\theta} = 2$

3. 最終的な答え

2倍