点A(-1, 3), B(-4, 2), C(-5, 0) が与えられたとき、以下のものを求めます。 1. 直線ACの式 2. 直線ACに平行で点Bを通る直線の式 3. 四角形OABCの面積と三角形OADの面積が等しくなるようなx軸上の点Dの座標 4. 四角形OABCの面積 5. 点Aを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式

1. 問題の内容

点A(-1, 3), B(-4, 2), C(-5, 0) が与えられたとき、以下のものを求めます。

1. 直線ACの式

2. 直線ACに平行で点Bを通る直線の式

3. 四角形OABCの面積と三角形OADの面積が等しくなるようなx軸上の点Dの座標

4. 四角形OABCの面積

5. 点Aを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式

2. 解き方の手順

1. 直線ACの式を求めます。

傾きは $m = \frac{3-0}{-1-(-5)} = \frac{3}{4}$ です。

点C(-5, 0)を通るので、$y = \frac{3}{4}(x+5) = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$

2. 直線ACに平行で点B(-4, 2)を通る直線の式を求めます。

傾きは $\frac{3}{4}$ なので、$y = \frac{3}{4}(x+4) + 2 = \frac{3}{4}x + 3 + 2 = \frac{3}{4}x + 5$

3. 四角形OABCの面積は、三角形OABと三角形OBCの面積の和です。

三角形OABの面積は、$S_{OAB} = \frac{1}{2}|(-1)(2) - (3)(-4)| = \frac{1}{2}|-2 + 12| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

三角形OBCの面積は、$S_{OBC} = \frac{1}{2}|(-4)(0) - (2)(-5)| = \frac{1}{2}|0 + 10| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

したがって、四角形OABCの面積は、$S_{OABC} = 5 + 5 = 10$

三角形OADの面積が10となるような点Dの座標を(x, 0)とすると、

$S_{OAD} = \frac{1}{2}|(-1)(0) - (3)(x)| = \frac{1}{2}|-3x| = \frac{3}{2}|x| = 10$

$|x| = \frac{20}{3}$

Dはx軸上にあるので、$x = \pm \frac{20}{3}$ となります。

図からDのx座標は負であるため、$x = -\frac{20}{3}$

4. 四角形OABCの面積は10です（上記参照）。

5. 点A(-1, 3)を通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

面積を2等分するので、四角形OABCの面積の半分である5となります。

ここで、点Aを通る直線が辺OCと交わる場合と、BCと交わる場合を考えます。

- 辺OCと交わる場合、交点をE(x, 0)とします。三角形OAEの面積が5になる必要があります。

$\frac{1}{2}|(-1)(0) - (3)(x)| = \frac{1}{2}|-3x| = \frac{3}{2}|x| = 5$

$|x| = \frac{10}{3}$。EはOC上にあるので、$x = -\frac{10}{3}$

点A(-1, 3)と点E(-10/3, 0)を通る直線の式を求めます。

傾きは $\frac{3 - 0}{-1 + 10/3} = \frac{3}{7/3} = \frac{9}{7}$

$y = \frac{9}{7}(x+1) + 3 = \frac{9}{7}x + \frac{9}{7} + \frac{21}{7} = \frac{9}{7}x + \frac{30}{7}$

3. 最終的な答え

1. 直線ACの式: $y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$

2. 直線ACに平行で点Bを通る直線の式: $y = \frac{3}{4}x + 5$

3. 点Dの座標: $(-\frac{20}{3}, 0)$

4. 四角形OABCの面積: 10

5. 点Aを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式: $y = \frac{9}{7}x + \frac{30}{7}$