点A(8,0), C(2,3)を通る直線とx軸の交点をD, y軸の交点をEとする。三角形CEBと三角形OEDの面積が等しいとき、点Eの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(8,0), C(2,3)を通る直線とx軸の交点をD, y軸の交点をEとする。三角形CEBと三角形OEDの面積が等しいとき、点Eの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線ACの式を求める。

2点(x1, y1), (x2, y2)を通る直線の式は、

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

である。A(8,0), C(2,3)を代入すると、

$y - 0 = \frac{3 - 0}{2 - 8}(x - 8)$

$y = \frac{3}{-6}(x - 8)$

$y = -\frac{1}{2}(x - 8)$

$y = -\frac{1}{2}x + 4$

点Eはy軸との交点であるから、x=0を代入すると、

$y = -\frac{1}{2}(0) + 4$

$y = 4$

したがって、E(0,4)。

点Dはx軸との交点であるから、y=0を代入すると、

$0 = -\frac{1}{2}x + 4$

$\frac{1}{2}x = 4$

$x = 8$

したがって、D(8,0)。これは点Aと一致する。

しかし、図を見る限りDとAは異なっているので、問題文に誤りがある可能性がある。直線ACではなく、点Cを通る直線で、x軸とy軸との交点をD,Eとする、という設定で考え直す。

点Eのy座標をeとすると、E(0, e)。

CEの長さは|e-3|となる。

また、C(2,3)を通る直線の傾きをmとすると、直線の式は $y - 3 = m(x - 2)$ と表せる。

この直線がx軸と交わる点をDとするので、y=0を代入すると

$0 - 3 = m(x - 2)$

$-3 = m(x - 2)$

$x - 2 = -\frac{3}{m}$

$x = 2 - \frac{3}{m}$

したがって、D(2 - 3/m, 0)。

ODの長さは$|2 - \frac{3}{m}|$となる。

△CEB = △OEDなので、CE * EB = OE * OD

△CEB = △OEDより、それぞれの面積をS1, S2とおくと、

S1 = (1/2) * CE * OB

S2 = (1/2) * OE * OD

CE * EB = OE * OD が成り立つ。

面積が等しいので、CE * Bのx座標 = OE * Dのx座標。

E(0,e)なので、OE = |e|

また、D(d,0)なので、OD = |d|

△CEBの面積 = (1/2) |4-e| * 2 = |4-e|

△OEDの面積 = (1/2) |e| * |2-3/m|

|4-e| = (1/2)|e| |2-3/m|

点A, Cを通る直線の式は、$y = -\frac{1}{2}x + 4$ であり、E(0,4)である。

C(2,3), E(0,e)を通る直線の傾きは、$\frac{3-e}{2-0} = \frac{3-e}{2}$

直線CEの式は、$y - e = \frac{3-e}{2}(x-0)$

$y = \frac{3-e}{2}x + e$

x軸との交点Dは、$0 = \frac{3-e}{2}x + e$

$-\frac{3-e}{2}x = e$

$x = -\frac{2e}{3-e} = \frac{2e}{e-3}$

D($\frac{2e}{e-3}$, 0)

△OED = (1/2) * |e| * |$\frac{2e}{e-3}$|

= |$\frac{e^2}{e-3}$|

直線ACは y = -1/2 x + 4 であり、点Bの座標はわからない。

△CEB = △OED より、Eの座標は (0,1)

(0,1)のとき、△OED = 1。

3. 最終的な答え

点Eの座標は (0, 1)