(1) 点A(6, 6), B(-2, 2)が与えられたとき、以下のものを求めます。 ① △OABの面積 ② 直線OAに平行で点Bを通る直線の式 ③ △OAB = △OAC となるy軸上の点Cの座標 ④ △OAB = △OAD となるx軸上の点Dの座標 (2) 点A(8, 0), C(2, 3) が与えられたとき、点Cを通る直線とx軸の交点をD, y軸の交点をEとします。△CEB = △OED であるとき、点Eの座標を求めます。ただし、点Bは図に示されていますが座標は与えられていません。点Bの座標が不明なので、(2)の問題は解けません。

1. 問題の内容

(1) 点A(6, 6), B(-2, 2)が与えられたとき、以下のものを求めます。

① △OABの面積

② 直線OAに平行で点Bを通る直線の式

③ △OAB = △OAC となるy軸上の点Cの座標

④ △OAB = △OAD となるx軸上の点Dの座標

(2) 点A(8, 0), C(2, 3) が与えられたとき、点Cを通る直線とx軸の交点をD, y軸の交点をEとします。△CEB = △OED であるとき、点Eの座標を求めます。ただし、点Bは図に示されていますが座標は与えられていません。点Bの座標が不明なので、(2)の問題は解けません。

2. 解き方の手順

(1) ① △OABの面積

三角形の面積は、座標を使って計算できます。原点O(0, 0), A(6, 6), B(-2, 2) を頂点とする三角形の面積は、次の公式で計算できます。

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

ここで、$x_1 = 0, y_1 = 0, x_2 = 6, y_2 = 6, x_3 = -2, y_3 = 2$ とすると、

$S = \frac{1}{2} |0(6 - 2) + 6(2 - 0) + (-2)(0 - 6)|$

$S = \frac{1}{2} |0 + 12 + 12| = \frac{1}{2} |24| = 12$

(1) ② 直線OAに平行で点Bを通る直線の式

直線OAの傾きは、$\frac{6 - 0}{6 - 0} = 1$ です。

したがって、直線OAに平行な直線の傾きも1です。

点B(-2, 2) を通る傾き1の直線の式は、$y - 2 = 1(x - (-2))$ より、$y = x + 4$ となります。

(1) ③ △OAB = △OAC となるy軸上の点Cの座標

△OABの面積は12です。点Cはy軸上にあるので、C(0, y) とおけます。△OACの面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} |0(6 - y) + 6(y - 0) + 0(0 - 6)|$

$S = \frac{1}{2} |6y| = |3y|$

△OAB = △OAC より、$|3y| = 12$ です。したがって、$3y = 12$ または $3y = -12$ です。

$y = 4$ または $y = -4$ となります。

よって、点Cの座標は (0, 4) または (0, -4) です。

(1) ④ △OAB = △OAD となるx軸上の点Dの座標

△OABの面積は12です。点Dはx軸上にあるので、D(x, 0) とおけます。△OADの面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} |0(6 - 0) + 6(0 - 0) + x(0 - 6)|$

$S = \frac{1}{2} |-6x| = | -3x | = |3x|$

△OAB = △OAD より、$|3x| = 12$ です。したがって、$3x = 12$ または $3x = -12$ です。

$x = 4$ または $x = -4$ となります。

よって、点Dの座標は (4, 0) または (-4, 0) です。

3. 最終的な答え

(1) ① △OABの面積: 12

(1) ② 直線OAに平行で点Bを通る直線の式: $y = x + 4$

(1) ③ 点Cの座標: (0, 4) または (0, -4)

(1) ④ 点Dの座標: (4, 0) または (-4, 0)

(2) 点Eの座標: 解答不可