台形OABCにおいて、OA//CB, A(8, 4), C(0, 4), OA:CB=4:3である。 (1) 点Bの座標を求める。 (2) 台形OABCの面積を求める。 (3) 点(4, 0)を通り、台形OABCの面積を2等分する直線の式を求める。

幾何学座標台形面積直線図形
2025/8/16

1. 問題の内容

台形OABCにおいて、OA//CB, A(8, 4), C(0, 4), OA:CB=4:3である。
(1) 点Bの座標を求める。
(2) 台形OABCの面積を求める。
(3) 点(4, 0)を通り、台形OABCの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標を求める。
OAとCBは平行なので、CBの傾きはOAの傾きと同じになる。OAの傾きは 4080=12\frac{4-0}{8-0} = \frac{1}{2}である。
CBの長さはOAの長さの34\frac{3}{4}倍である。OAの長さは8であるから、CBの長さは8×34=68 \times \frac{3}{4} = 6である。
点Bの座標を(x, y)とすると、点C(0, 4)との距離が6なので、
(x0)2+(y4)2=6\sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2} = 6
x2+(y4)2=36x^2 + (y-4)^2 = 36
また、CBの傾きが12\frac{1}{2}なので、
y4x0=12\frac{y-4}{x-0} = \frac{1}{2}
y=12x+4y = \frac{1}{2}x + 4
これをx2+(y4)2=36x^2 + (y-4)^2 = 36に代入すると、
x2+(12x+44)2=36x^2 + (\frac{1}{2}x + 4 - 4)^2 = 36
x2+(12x)2=36x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = 36
x2+14x2=36x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 36
54x2=36\frac{5}{4}x^2 = 36
x2=36×45=1445x^2 = \frac{36 \times 4}{5} = \frac{144}{5}
x=±1445=±125=±1255x = \pm \sqrt{\frac{144}{5}} = \pm \frac{12}{\sqrt{5}} = \pm \frac{12\sqrt{5}}{5}
図からx > 0なので、x=1255x = \frac{12\sqrt{5}}{5}
y=12×1255+4=655+4=65+205y = \frac{1}{2} \times \frac{12\sqrt{5}}{5} + 4 = \frac{6\sqrt{5}}{5} + 4 = \frac{6\sqrt{5} + 20}{5}
よって、点Bの座標は(1255,65+205)(\frac{12\sqrt{5}}{5}, \frac{6\sqrt{5}+20}{5})
図から判断すると、A,Bのy座標は4となるので、y=4y=4でなければならない。
CBの傾きは12\frac{1}{2}なので、Bの座標は(xBx_B, 4)と表せる。
CBの長さは6なので、(xB0)2+(44)2=6\sqrt{(x_B - 0)^2 + (4-4)^2} = 6
xB2=36x_B^2 = 36
xB=±6x_B = \pm 6
図からx > 0なので、xB=6x_B = 6
よって、点Bの座標は(6, 4)
(2) 台形OABCの面積を求める。
台形の面積は(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2で求められる。
上底OAの長さは8、下底CBの長さは6、高さは4なので、
台形OABCの面積は(8+6)×4÷2=14×2=28(8+6) \times 4 \div 2 = 14 \times 2 = 28
(3) 点(4, 0)を通り、台形OABCの面積を2等分する直線の式を求める。
求める直線は、点(4, 0)を通るので、y=a(x4)y = a(x - 4)と表せる。
台形OABCの面積は28なので、面積を2等分する直線の面積は14である。
この直線がABと交わる場合、その交点をP(x,y)とすると、直線ABはy=4だから、P(x,4)となる。直線の方程式に代入すると、
4=a(x4)4 = a(x - 4)
x=4a+4x = \frac{4}{a} + 4
P(4a+4\frac{4}{a} + 4, 4)
面積を2等分するので、三角形の面積を考えると、
12×4×(4a+44)+12×4×(40)=14\frac{1}{2} \times 4 \times (\frac{4}{a} + 4 - 4) + \frac{1}{2} \times 4 \times (4-0) = 14
8a+8=14\frac{8}{a} + 8 = 14
8a=6\frac{8}{a} = 6
a=86=43a = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
y=43(x4)y = \frac{4}{3}(x-4)
y=43x163y = \frac{4}{3}x - \frac{16}{3}

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: (6, 4)
(2) 台形OABCの面積: 28
(3) 直線の式: y=43x163y = \frac{4}{3}x - \frac{16}{3}

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