直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = $\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{2}$, BF = 2である。 (1) cos∠AFCの値を求める。 (2) △AFCの面積Sを求める。 (3) 四面体BAFCの体積Vを求める。 (4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = $\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{2}$, BF = 2である。

(1) cos∠AFCの値を求める。

(2) △AFCの面積Sを求める。

(3) 四面体BAFCの体積Vを求める。

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) cos∠AFCの値を求める。

まず、AF, FC, CAの長さを求める。

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$

$FC = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$CA = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 8} = \sqrt{10}$

余弦定理より、

$CA^2 = AF^2 + FC^2 - 2 \cdot AF \cdot FC \cdot \cos{\angle AFC}$

$10 = 6 + 12 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{\angle AFC}$

$10 = 18 - 4\sqrt{18} \cdot \cos{\angle AFC}$

$4\sqrt{18} \cdot \cos{\angle AFC} = 8$

$4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos{\angle AFC} = 8$

$12\sqrt{2} \cdot \cos{\angle AFC} = 8$

$\cos{\angle AFC} = \frac{8}{12\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) △AFCの面積Sを求める。

$\sin^2{\angle AFC} + \cos^2{\angle AFC} = 1$ より、

$\sin^2{\angle AFC} = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$\sin{\angle AFC} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot FC \cdot \sin{\angle AFC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{126}}{3} = \frac{\sqrt{9 \cdot 14}}{3} = \frac{3\sqrt{14}}{3} = \sqrt{14}$

(3) 四面体BAFCの体積Vを求める。

四面体BAFCの体積は、三角錐として考える。

底面を△ABCとすると、高さはBFになる。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2$

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle ABC \cdot BF = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{3}$

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さを求める。

Bから平面AFCに下ろした垂線の長さをhとする。

四面体BAFCの体積は、$\frac{1}{3} \cdot S \cdot h$ でもあるので、

$\frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{14} \cdot h$

$4 = \sqrt{14} \cdot h$

$h = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{14}}{14} = \frac{2\sqrt{14}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) cos∠AFC = $\frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) △AFCの面積S = $\sqrt{14}$

(3) 四面体BAFCの体積V = $\frac{4}{3}$

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さ = $\frac{2\sqrt{14}}{7}$