正六角柱において、正六角形の辺をなすある1辺を選んだとき、その辺とねじれの位置にある辺とのなす角は2種類ある。ただし、なす角 $\theta$ は $0 < \theta \le 90^\circ$ の範囲でとるものとする。このなす角の組み合わせとして適切なものを選択する問題。

1. 問題の内容

正六角柱において、正六角形の辺をなすある1辺を選んだとき、その辺とねじれの位置にある辺とのなす角は2種類ある。ただし、なす角 $\theta$ は $0 < \theta \le 90^\circ$ の範囲でとるものとする。このなす角の組み合わせとして適切なものを選択する問題。

2. 解き方の手順

正六角柱を考え、正六角形の辺を1つ選ぶ。

ねじれの位置にある辺とのなす角を考える。

正六角形の1つの辺に対して、ねじれの位置にある辺は複数存在する。

正六角形の隣り合う辺は交わるため、ねじれの位置にはない。また、平行な辺もねじれの位置にはない。

正六角柱の上面と下面で対応する辺は平行であるため、ねじれの位置にはない。

正六角柱の側面にあたる長方形の辺のうち、正六角形の辺とねじれの位置にあるものを考える。

正六角形の辺と、それと並行な対辺を結ぶ側面の辺は、正六角形の辺と直角に交わるため、なす角は $90^\circ$ である。

次に、正六角形の辺と隣り合う辺の反対側の頂点とを結ぶ側面の辺を考える。このとき、正六角形の隣り合う内角は $120^\circ$ であるため、それから $90^\circ$ を引くと $30^\circ$ となる。しかし、問題文では$0 < \theta \le 90^\circ$の範囲でとるものとする。

正六角形の1つの内角は$\frac{180(6-2)}{6}=120$度。

正六角形の辺と、ねじれの位置にある辺のなす角は、正六角柱の側面に対して$30^\circ$となる。

正六角柱の上底の辺を選択した場合、下底には1つ平行な辺があり、残りの4つの辺とのなす角を考える。

そのうち2つは$60^\circ$であり、もう2つは$90^\circ$である。

したがって、正六角形の辺とねじれの位置にある辺とのなす角は、$60^\circ$と$90^\circ$の2種類となる。

3. 最終的な答え

1. 60°,90°