台形ABCDにおいて、AD//BC, A(6, 0), C(0, 9), D(-3, 0), AD:BC=3:1である。以下のものを求めます。 (1) 点Bの座標 (2) 台形ABCDの面積 (3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式 (4) 点Aを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD//BC, A(6, 0), C(0, 9), D(-3, 0), AD:BC=3:1である。以下のものを求めます。

(1) 点Bの座標

(2) 台形ABCDの面積

(3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

(4) 点Aを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標

AD:BC = 3:1より、BCの長さはADの1/3である。

AD = 6 - (-3) = 9

BC = 9 * (1/3) = 3

C(0, 9)より、Bのx座標は3である。y座標はCと同じ9なので、B(3, 9)。

(2) 台形ABCDの面積

台形の面積は、(上底 + 下底) * 高さ / 2 で求められる。

上底AD = 9、下底BC = 3、高さはCのy座標から9である。

面積 = (9 + 3) * 9 / 2 = 12 * 9 / 2 = 54

(3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

台形ABCDの面積を2等分する直線は、台形の重心を通る。

台形の重心は、上底と下底の中点を結ぶ線分の中点ではない。面積を2等分するので、線分ACの中点を通る直線を考える。

ACの中点をMとすると、Mの座標は((6+0)/2, (0+9)/2) = (3, 4.5)である。

点B(3, 9)を通り、台形ABCDの面積を2等分する直線は、ACの中点M(3, 4.5)も通る。

したがって、直線はx=3となる。

(4) 点Aを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

ADの中点をNとすると、Nの座標は((6-3)/2, (0+0)/2) = (1.5, 0)である。点A(6, 0)を通り、台形ABCDの面積を2等分する直線は、ADの中点N(1.5, 0)も通らない。

台形の面積を二等分するためには、線分CDの中点を通る必要がある。

CDの中点をPとする。Pの座標は((-3+0)/2, (0+9)/2) = (-1.5, 4.5)。

A(6,0)とP(-1.5, 4.5)を通る直線の傾きmは、

$m = \frac{4.5 - 0}{-1.5 - 6} = \frac{4.5}{-7.5} = -\frac{3}{5}$

したがって、求める直線は、

$y - 0 = -\frac{3}{5} (x - 6)$

$y = -\frac{3}{5}x + \frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

(1) B(3, 9)

(2) 54

(3) x = 3

(4) $y = -\frac{3}{5}x + \frac{18}{5}$