四角形OABCは平行四辺形であり、点A, B, Dの座標がそれぞれA(7, 2), B(10, 6), D(0, 2)で与えられています。以下のものを求めます。 (1) 点Cの座標 (2) 三角形OACの面積 (3) 平行四辺形OABCの面積 (4) 点Dを通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の式

1. 問題の内容

四角形OABCは平行四辺形であり、点A, B, Dの座標がそれぞれA(7, 2), B(10, 6), D(0, 2)で与えられています。以下のものを求めます。

(1) 点Cの座標

(2) 三角形OACの面積

(3) 平行四辺形OABCの面積

(4) 点Dを通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の式

2. 解き方の手順

(1) 点Cの座標

平行四辺形の性質から、$\vec{OC} = \vec{BA}$が成り立ちます。

$\vec{BA} = (7-10, 2-6) = (-3, -4)$

したがって、点Cの座標は$C(0-3, 0-4) = C(-3, -4)$

(2) 三角形OACの面積

点O(0,0), A(7,2), C(-3,-4) を頂点とする三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} |(7 \times (-4) - 2 \times (-3))| = \frac{1}{2} |(-28 + 6)| = \frac{1}{2} |-22| = 11$

(3) 平行四辺形OABCの面積

平行四辺形OABCの面積は、三角形OACの面積の2倍です。

したがって、平行四辺形OABCの面積は$2 \times 11 = 22$

または、

$\vec{OA} = (7, 2)$

$\vec{OD} = (0, 2)$

平行四辺形OABCの面積は $|\vec{OA} \times \vec{OC}|$ で求められます。

$\vec{OC} = (-3, -4)$

面積 = $|7(-4) - 2(-3)| = |-28 + 6| = |-22| = 22$

(4) 点Dを通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の式

平行四辺形の面積を2等分する直線は、平行四辺形の対角線の交点を通ります。

対角線OAとBCの中点は一致します。また、対角線OBとACの中点も一致します。

対角線OBの中点は$(\frac{10+0}{2}, \frac{6+0}{2}) = (5, 3)$

したがって、直線は点D(0,2)と点(5,3)を通ります。

直線の傾きは$\frac{3-2}{5-0} = \frac{1}{5}$

切片は2なので、直線の式は$y = \frac{1}{5}x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 点Cの座標: C(-3, -4)

(2) 三角形OACの面積: 11

(3) 平行四辺形OABCの面積: 22

(4) 点Dを通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の式: $y = \frac{1}{5}x + 2$