与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題30は(1)～(4)、問題31も(1)～(4)のそれぞれについて、分母にルートが残らない形に変形します。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題30と31の(1)～(4)全てについて、分母の有理化を行う問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題30は(1)～(4)、問題31も(1)～(4)のそれぞれについて、分母にルートが残らない形に変形します。

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母と分子に適切な数を掛けることで行います。

問題30：

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$：分母分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$：分母分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{7} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{21}}{3} = 3\sqrt{21}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{50}}$：まず$\sqrt{50}$を簡単にします。$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$。よって、$\frac{2}{\sqrt{50}}=\frac{2}{5\sqrt{2}}$。分母分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{5}$

(4) $\sqrt{\frac{8}{27}}$：ルートを分けて、$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$、$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。よって$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$。分母分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \times 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

問題31：

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$：分母分子に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{6}{\sqrt{10}-2}$：分母分子に$\sqrt{10}+2$を掛けます。

$\frac{6}{\sqrt{10}-2} = \frac{6(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{6(\sqrt{10}+2)}{10-4} = \frac{6(\sqrt{10}+2)}{6} = \sqrt{10}+2$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$：分母分子に$\sqrt{5}-\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{5-\sqrt{15}}{5-3} = \frac{5-\sqrt{15}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$：分母分子に$\sqrt{2}+1$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

問題30：

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $3\sqrt{21}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{5}$

(4) $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

問題31：

(1) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\sqrt{10}+2$

(3) $\frac{5-\sqrt{15}}{2}$

(4) $3+2\sqrt{2}$