3点 A(-7, 0), B(7, 0), C(2, 12) を頂点とする三角形 ABC があります。この三角形の重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求めてください。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

3点 A(-7, 0), B(7, 0), C(2, 12) を頂点とする三角形 ABC があります。この三角形の重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 重心の座標

重心の座標は、各頂点の座標の平均です。

$G(x_G, y_G)$ とすると、

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

これに各頂点の座標を代入します。

(2) 外心の座標

外心は、三角形の外接円の中心です。外心から各頂点までの距離は等しいです。

外心の座標を $O(x, y)$ とします。$OA^2 = OB^2 = OC^2$ を利用します。

$OA^2 = (x + 7)^2 + y^2$

$OB^2 = (x - 7)^2 + y^2$

$OC^2 = (x - 2)^2 + (y - 12)^2$

$OA^2 = OB^2$ より、

$(x + 7)^2 + y^2 = (x - 7)^2 + y^2$

$x^2 + 14x + 49 + y^2 = x^2 - 14x + 49 + y^2$

$28x = 0$

$x = 0$

$OA^2 = OC^2$ より、

$(0 + 7)^2 + y^2 = (0 - 2)^2 + (y - 12)^2$

$49 + y^2 = 4 + y^2 - 24y + 144$

$49 = 148 - 24y$

$24y = 99$

$y = \frac{99}{24} = \frac{33}{8}$

したがって、外心の座標は $(0, \frac{33}{8})$ です。

(3) 内心の座標

内心は、三角形の内接円の中心です。内心は、各頂点からの距離の比が辺の長さの比になります。

まず、各辺の長さを求めます。

$AB = \sqrt{(7 - (-7))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{14^2} = 14$

$BC = \sqrt{(2 - 7)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$CA = \sqrt{(-7 - 2)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

内心の座標を $I(x_I, y_I)$ とすると、

$x_I = \frac{BC \cdot x_A + CA \cdot x_B + AB \cdot x_C}{AB + BC + CA}$

$y_I = \frac{BC \cdot y_A + CA \cdot y_B + AB \cdot y_C}{AB + BC + CA}$

$x_I = \frac{13 \cdot (-7) + 15 \cdot 7 + 14 \cdot 2}{14 + 13 + 15} = \frac{-91 + 105 + 28}{42} = \frac{42}{42} = 1$

$y_I = \frac{13 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + 14 \cdot 12}{14 + 13 + 15} = \frac{168}{42} = 4$

したがって、内心の座標は $(1, 4)$ です。

(4) 垂心の座標

垂心は、各頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。

$AB$ は $y = 0$ 上にあるので、頂点 $C$ から $AB$ に下ろした垂線は $x = 2$ となります。

$AC$ の傾きは $\frac{12 - 0}{2 - (-7)} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ なので、頂点 $B$ から $AC$ に下ろした垂線の傾きは $-\frac{3}{4}$ です。

この垂線の方程式は、

$y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 7)$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{4}$

$x = 2$ を代入すると、

$y = -\frac{3}{4}(2) + \frac{21}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{21}{4} = \frac{15}{4}$

したがって、垂心の座標は $(2, \frac{15}{4})$ です。

3. 最終的な答え

重心: $(\frac{2}{3}, 4)$

外心: $(0, \frac{33}{8})$

内心: $(1, 4)$

垂心: $(2, \frac{15}{4})$