関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = -3x^2 + 8x + 7$ を $x$ で微分すると、

$$y' = -6x + 8$$

となります。

次に、点 $(3,4)$ における接線の傾き $m$ を求めます。$y'$ に $x=3$ を代入すると、

$$m = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10$$

となります。

したがって、接線の傾きは $m=-10$ です。

接線の式は、点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて求めます。

点 $(3,4)$ を通り、傾きが $-10$ の直線の方程式は、

$$y - 4 = -10(x - 3)$$

となります。

これを整理して、

$$y - 4 = -10x + 30$$

$$y = -10x + 34$$

となります。

3. 最終的な答え

$y = -10x + 34$