数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2^{n+1}$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2^{n+1}$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ を使って次のように表されます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

与えられた $S_n = n^2 + 2^{n+1}$ を代入すると、

$a_n = (n^2 + 2^{n+1}) - ((n-1)^2 + 2^{(n-1)+1})$

$a_n = (n^2 + 2^{n+1}) - ((n-1)^2 + 2^n)$

$a_n = n^2 + 2^{n+1} - (n^2 - 2n + 1) - 2^n$

$a_n = n^2 + 2 \cdot 2^n - n^2 + 2n - 1 - 2^n$

$a_n = 2^n + 2n - 1$

次に、初項 $a_1$ は $S_1$ に等しいので、

$a_1 = S_1 = 1^2 + 2^{1+1} = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$a_n = 2^n + 2n - 1$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2^1 + 2(1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$となり、$a_1 = 5$と一致しません。

したがって、$n=1$ のときと $n \ge 2$ のときで分けて考える必要があります。

3. 最終的な答え

$a_1 = 5$

$a_n = 2^n + 2n - 1 \quad (n \ge 2)$