初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ が与えられているとき、一般項 $a_n$ は以下の手順で求める。

* まず、$n=1$ のとき、初項 $a_1$ は $a_1 = S_1$ で求められる。

$S_1 = 1^2 + 2 = 3$ より $a_1 = 3$

* 次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められる。

$S_n = n^2 + 2$ であり、$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2 = n^2 - 2n + 1 + 2 = n^2 - 2n + 3$ であるから、

$$$$

a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2) - (n^2 - 2n + 3) = n^2 + 2 - n^2 + 2n - 3 = 2n - 1

$$$$

* $a_n = 2n - 1$ が $n=1$ のときにも成り立つか確認する。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 1 = 1$ となり、先に求めた $a_1=3$ と一致しない。

したがって、$n \geq 2$ のとき $a_n = 2n - 1$ であり、$a_1 = 3$ である。

これをまとめて表記する。

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$a_n = 2n - 1$ $(n \geq 2)$