関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めなさい。また、$y = 10x - 27$ が答えの一部として与えられています。もう一方の接線を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めなさい。また、$y = 10x - 27$ が答えの一部として与えられています。もう一方の接線を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 - 2)$ とします。

関数 $y = x^2 - 2$ を微分すると、$y' = 2x$ となります。

したがって、点 $(t, t^2 - 2)$ における接線の傾きは $2t$ です。

接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

と表すことができます。

この接線が点 $(2, -7)$ を通ることから、

$-7 - (t^2 - 2) = 2t(2 - t)$

$-7 - t^2 + 2 = 4t - 2t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

したがって、$t = 5$ または $t = -1$ です。

$t = 5$ のとき、接点の座標は $(5, 23)$ であり、接線の傾きは $2(5) = 10$ となります。

このときの接線の方程式は、

$y - 23 = 10(x - 5)$

$y = 10x - 50 + 23$

$y = 10x - 27$

これは問題文に与えられています。

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, -1)$ であり、接線の傾きは $2(-1) = -2$ となります。

このときの接線の方程式は、

$y - (-1) = -2(x - (-1))$

$y + 1 = -2(x + 1)$

$y + 1 = -2x - 2$

$y = -2x - 3$

3. 最終的な答え

$y = -2x - 3$