問題文は、テイラー展開の式を用いて、以下の関数を第4項まで求め、その和を計算するように指示しています。 (1) $e^{0.3}$ (2) $\cos 31^{\circ}$ (3) $\ln 1.2$ ただし、$\pi = 3.1416$とします。

1. 問題の内容

問題文は、テイラー展開の式を用いて、以下の関数を第4項まで求め、その和を計算するように指示しています。

(1) $e^{0.3}$

(2) $\cos 31^{\circ}$

(3) $\ln 1.2$

ただし、$\pi = 3.1416$とします。

2. 解き方の手順

(1) $e^{0.3}$の場合

$e^x$ のマクローリン展開（テイラー展開の中心が $x=0$ の場合）は以下の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

第4項までの和を求めます。$x = 0.3$を代入すると、

$e^{0.3} \approx 1 + 0.3 + \frac{(0.3)^2}{2} + \frac{(0.3)^3}{6}$

$e^{0.3} \approx 1 + 0.3 + \frac{0.09}{2} + \frac{0.027}{6}$

$e^{0.3} \approx 1 + 0.3 + 0.045 + 0.0045$

$e^{0.3} \approx 1.3495$

(2) $\cos 31^{\circ}$の場合

$\cos x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

まず、度数法から弧度法に変換します。

$31^{\circ} = 31 \times \frac{\pi}{180} \approx 31 \times \frac{3.1416}{180} \approx 0.54105$ (ラジアン)

$x \approx 0.54105$

第4項までの和を求めます。

$\cos (0.54105) \approx 1 - \frac{(0.54105)^2}{2} + \frac{(0.54105)^4}{24} - \frac{(0.54105)^6}{720}$

$\cos (0.54105) \approx 1 - \frac{0.2927}{2} + \frac{0.0856}{24} - \frac{0.025}{720}$

$\cos (0.54105) \approx 1 - 0.14635 + 0.003567 - 0.000035$

$\cos (0.54105) \approx 0.857182$

(3) $\ln 1.2$の場合

$\ln(1+x)$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

$1+x = 1.2$なので、$x = 0.2$を代入します。

第4項までの和を求めます。

$\ln(1.2) \approx 0.2 - \frac{(0.2)^2}{2} + \frac{(0.2)^3}{3} - \frac{(0.2)^4}{4}$

$\ln(1.2) \approx 0.2 - \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} - \frac{0.0016}{4}$

$\ln(1.2) \approx 0.2 - 0.02 + 0.002667 - 0.0004$

$\ln(1.2) \approx 0.182267$

3. 最終的な答え

(1) $e^{0.3} \approx 1.3495$

(2) $\cos 31^{\circ} \approx 0.857182$

(3) $\ln 1.2 \approx 0.182267$