関数 $f(x) = -2x^2 + x + 3$ について、以下の区間における平均変化率を求めます。 (1) $x$ が $-2$ から $2$ まで変化するとき (2) $x$ が $-2$ から $-2+h$ まで変化するとき

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + x + 3$ について、以下の区間における平均変化率を求めます。

(1) $x$ が $-2$ から $2$ まで変化するとき

(2) $x$ が $-2$ から $-2+h$ まで変化するとき

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ で求められます。ここで、$a$ は区間の開始点、$b$ は区間の終了点です。

(1) $x$ が $-2$ から $2$ まで変化するとき

$a = -2$, $b = 2$ なので、

$f(-2) = -2(-2)^2 + (-2) + 3 = -2(4) - 2 + 3 = -8 - 2 + 3 = -7$

$f(2) = -2(2)^2 + 2 + 3 = -2(4) + 2 + 3 = -8 + 2 + 3 = -3$

平均変化率は、$\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{-3 - (-7)}{2 + 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) $x$ が $-2$ から $-2+h$ まで変化するとき

$a = -2$, $b = -2+h$ なので、

$f(-2) = -2(-2)^2 + (-2) + 3 = -7$（上記参照）

$f(-2+h) = -2(-2+h)^2 + (-2+h) + 3 = -2(4 - 4h + h^2) - 2 + h + 3 = -8 + 8h - 2h^2 - 2 + h + 3 = -2h^2 + 9h - 7$

平均変化率は、$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{(-2+h) - (-2)} = \frac{(-2h^2 + 9h - 7) - (-7)}{-2 + h + 2} = \frac{-2h^2 + 9h - 7 + 7}{h} = \frac{-2h^2 + 9h}{h} = \frac{h(-2h + 9)}{h}$

$h \neq 0$ のとき、$\frac{h(-2h + 9)}{h} = -2h + 9$

3. 最終的な答え

(1) $1$

(2) $-2h + 9$