与えられた陰関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を求める問題です。以下の6つの関数について解きます。 (1) $x^2 + xy + y^2 = 1$ (2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (3) $x = y^2 - y + 1$ (4) $x(y^2 - 2y) = 1$ (5) $xy - xe^y = 1$ (6) $\frac{y}{x} \sin(xy) = 1$

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を求める問題です。以下の6つの関数について解きます。

(1) $x^2 + xy + y^2 = 1$

(2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

(3) $x = y^2 - y + 1$

(4) $x(y^2 - 2y) = 1$

(5) $xy - xe^y = 1$

(6) $\frac{y}{x} \sin(xy) = 1$

2. 解き方の手順

陰関数の微分を行います。$y$ は $x$ の関数であることに注意して、各項を $x$ で微分し、$y' = \frac{dy}{dx}$ について解きます。

(1) $x^2 + xy + y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + (1 \cdot y + x \cdot y') + 2y \cdot y' = 0$

$2x + y + xy' + 2yy' = 0$

$(x + 2y)y' = -2x - y$

$y' = \frac{-2x - y}{x + 2y}$

(2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

両辺を $x$ で微分すると、

$3x^2 + 3y^2 y' - 3(1 \cdot y + x \cdot y') = 0$

$3x^2 + 3y^2 y' - 3y - 3xy' = 0$

$x^2 + y^2 y' - y - xy' = 0$

$(y^2 - x)y' = y - x^2$

$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $x = y^2 - y + 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = 2y \cdot y' - y' + 0$

$1 = (2y - 1)y'$

$y' = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $x(y^2 - 2y) = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$1 \cdot (y^2 - 2y) + x \cdot (2y y' - 2y') = 0$

$y^2 - 2y + x(2y - 2)y' = 0$

$x(2y - 2)y' = -y^2 + 2y$

$y' = \frac{-y^2 + 2y}{x(2y - 2)} = \frac{y(2 - y)}{2x(y - 1)}$

(5) $xy - xe^y = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$(1 \cdot y + x \cdot y') - (1 \cdot e^y + x \cdot e^y \cdot y') = 0$

$y + xy' - e^y - xe^y y' = 0$

$(x - xe^y)y' = e^y - y$

$y' = \frac{e^y - y}{x - xe^y} = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $\frac{y}{x} \sin(xy) = 1$

$\frac{y}{x} \sin(xy) = 1$ の両辺に $x$ をかけると $y \sin(xy) = x$

両辺を $x$ で微分すると、

$y' \sin(xy) + y \cos(xy)(y + xy') = 1$

$y' \sin(xy) + y^2 \cos(xy) + xy y' \cos(xy) = 1$

$(\sin(xy) + xy \cos(xy)) y' = 1 - y^2 \cos(xy)$

$y' = \frac{1 - y^2 \cos(xy)}{\sin(xy) + xy \cos(xy)}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-2x - y}{x + 2y}$

(2) $y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $y' = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $y' = \frac{y(2 - y)}{2x(y - 1)}$

(5) $y' = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $y' = \frac{1 - y^2 \cos(xy)}{\sin(xy) + xy \cos(xy)}$