関数 $f(x,y)$ は全平面で2回偏微分可能であり、すべての偏導関数は連続である。$z = f(x,y)$ であり、$x = u + v$, $y = uv$ であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) $z_u$ と $z_v$ を求めよ。 (2) $u z_u + v z_v = x f_x + 2y f_y$ を示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ は全平面で2回偏微分可能であり、すべての偏導関数は連続である。$z = f(x,y)$ であり、$x = u + v$, $y = uv$ であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) $z_u$ と $z_v$ を求めよ。

(2) $u z_u + v z_v = x f_x + 2y f_y$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) $z_u$ と $z_v$ を求める。

合成関数の偏微分の公式を用いる。

$z = f(x,y)$ であり、$x = x(u,v)$、$y = y(u,v)$ のとき、

$z_u = \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = f_x \frac{\partial x}{\partial u} + f_y \frac{\partial y}{\partial u}$

$z_v = \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = f_x \frac{\partial x}{\partial v} + f_y \frac{\partial y}{\partial v}$

ここで、$x = u + v$, $y = uv$ であるから、

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$, $\frac{\partial x}{\partial v} = 1$, $\frac{\partial y}{\partial u} = v$, $\frac{\partial y}{\partial v} = u$

したがって、

$z_u = f_x(1) + f_y(v) = f_x + v f_y$

$z_v = f_x(1) + f_y(u) = f_x + u f_y$

(2) $u z_u + v z_v = x f_x + 2y f_y$ を示す。

(1) の結果から、

$u z_u + v z_v = u (f_x + v f_y) + v (f_x + u f_y) = u f_x + uv f_y + v f_x + uv f_y = (u+v) f_x + 2uv f_y$

ここで、$x = u+v$, $y = uv$ であるから、

$u z_u + v z_v = x f_x + 2y f_y$

したがって、示すべき式が成立する。

3. 最終的な答え

(1)

$z_u = f_x + v f_y$

$z_v = f_x + u f_y$

(2)

$u z_u + v z_v = x f_x + 2y f_y$