関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線の傾きを求める。

直線 $y = 8x + 9$ に平行な直線の傾きは8である。なぜならば、平行な二直線の傾きは等しいから。

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 10x - 2$

$y' = 8$ となるxの値を求める。

$10x - 2 = 8$

$10x = 10$

$x = 1$

(2) 接点の座標を求める。

$x = 1$ を $y = 5x^2 - 2x - 1$ に代入して、y座標を求める。

$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$

接点の座標は (1, 2) である。

(3) 接線の方程式を求める。

傾きが8で、点 (1, 2) を通る直線の方程式は、

$y - 2 = 8(x - 1)$

$y - 2 = 8x - 8$

$y = 8x - 6$

3. 最終的な答え

$y = 8x - 6$