問題5の(1), (2), (3)を解く。 △ABCにおいて、AB=7, BC=4, CA=5である。 (1) 余弦定理により、$cos B$ を求める。 (2) $sin B > 0$ であるから、三角比の相互関係により、$sin B$ を求める。 (3) △ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

問題5の(1), (2), (3)を解く。

△ABCにおいて、AB=7, BC=4, CA=5である。

(1) 余弦定理により、$cos B$ を求める。

(2) $sin B > 0$ であるから、三角比の相互関係により、$sin B$ を求める。

(3) △ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot cos A$

同様に、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot cos C$

この問題では、$cos B$を求めるので、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$

$5^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot cos B$

$25 = 49 + 16 - 56 \cdot cos B$

$56 \cdot cos B = 40$

$cos B = \frac{40}{56} = \frac{5}{7}$

(2) $sin^2 B + cos^2 B = 1$

$sin^2 B = 1 - cos^2 B$

$sin B = \sqrt{1 - cos^2 B}$

$sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

(3) $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $cos B = \frac{5}{7}$

(2) $sin B = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

(3) $S = 4\sqrt{6}$