与えられた三角形に関する値を求める問題です。 (1) $\triangle ABC$ において、$AB = 8$, $A = 30^\circ$, $B = 105^\circ$ のとき、$BC$ を求めます。 (2) $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とします。$AB = 6$, $C = 60^\circ$ のとき、$R$ を求めます。 (3) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$ のとき、$AC$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角形に関する値を求める問題です。

(1) $\triangle ABC$ において、$AB = 8$, $A = 30^\circ$, $B = 105^\circ$ のとき、$BC$ を求めます。

(2) $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とします。$AB = 6$, $C = 60^\circ$ のとき、$R$ を求めます。

(3) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$ のとき、$AC$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$ です。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}$

$BC = \frac{8 \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$

(2)

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\frac{6}{\sin 60^\circ} = 2R$

$2R = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$

$R = 2\sqrt{3}$

(3)

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 5^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$AC^2 = 25 + 27 - 30\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC^2 = 52 - 30\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 52 - 45 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 4\sqrt{2}$

(2) $R = 2\sqrt{3}$

(3) $AC = \sqrt{7}$