関数 $y = -4x^3 + 2x^2 + 9x - 3$ について、$x=2$ の点における傾きを求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -4x^3 + 2x^2 + 9x - 3$ について、$x=2$ の点における傾きを求めます。

2. 解き方の手順

関数の傾きは、その導関数を求めることで得られます。

まず、$y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y = -4x^3 + 2x^2 + 9x - 3$

各項を微分すると:

$\frac{d}{dx}(-4x^3) = -12x^2$

$\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x$

$\frac{d}{dx}(9x) = 9$

$\frac{d}{dx}(-3) = 0$

したがって、導関数 $y'$ は次のようになります。

$y' = -12x^2 + 4x + 9$

次に、$x=2$ における傾きを求めるために、$y'$ に $x=2$ を代入します。

$y'(2) = -12(2)^2 + 4(2) + 9$

$y'(2) = -12(4) + 8 + 9$

$y'(2) = -48 + 8 + 9$

$y'(2) = -48 + 17$

$y'(2) = -31$

3. 最終的な答え

-31