一辺の長さが3である正四面体PABCにおいて、頂点Pから三角形ABCに下ろした垂線をPHとする。このとき、PHの長さと正四面体PABCの体積Vを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3である正四面体PABCにおいて、頂点Pから三角形ABCに下ろした垂線をPHとする。このとき、PHの長さと正四面体PABCの体積Vを求める。

2. 解き方の手順

(1) PHの長さについて

点Hは正三角形ABCの中心となる。

正三角形ABCの一辺の長さをaとすると、重心Hまでの距離AHは、

$AH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$

今回の問題では、$a = 3$なので、

$AH = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 = \sqrt{3}$

三角形PAHは直角三角形なので、三平方の定理より、

$PH^2 + AH^2 = PA^2$

$PH^2 = PA^2 - AH^2$

$PH^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$

$PH = \sqrt{6}$

(2) 正四面体PABCの体積Vについて

正四面体の体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times (\triangle ABCの面積) \times PH$ で求められる。

$\triangle ABCの面積 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

したがって、

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{3}\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{18}}{4} = \frac{3 \times 3\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) PHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 正四面体PABCの体積V: $\frac{9\sqrt{2}}{4}$