関数 $y = 2x^2 - 5x$ のグラフの接線が、接点 $(a, 2a^2 - 5a)$ で直線 $y = 7x - 1$ に平行であるとき、接点の座標を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 5x$ のグラフの接線が、接点 $(a, 2a^2 - 5a)$ で直線 $y = 7x - 1$ に平行であるとき、接点の座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 5x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 4x - 5$

接点 $(a, 2a^2 - 5a)$ における接線の傾きは、$y'|_{x=a} = 4a - 5$ で与えられます。

問題文より、接線は直線 $y = 7x - 1$ に平行なので、接線の傾きは7です。したがって、

$4a - 5 = 7$

$4a = 12$

$a = 3$

接点のy座標は、$2a^2 - 5a$ で与えられるので、$a = 3$ を代入すると、

$2(3)^2 - 5(3) = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$

したがって、接点の座標は $(3, 3)$ です。

3. 最終的な答え

$(3, 3)$