関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に, $x$ 座標がそれぞれ -3, 2 である点 A, B をとります。また、点 C は $x$ 軸上の点で、$x$ 座標は -3 です。 (1) 直線 AB の式を求めます。 (2) 三角形 AOB の面積を求めます。 (3) 線分 AC 上の点で、三角形 AOB = 三角形 APB となるような点 P の座標を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に, $x$ 座標がそれぞれ -3, 2 である点 A, B をとります。また、点 C は $x$ 軸上の点で、$x$ 座標は -3 です。

(1) 直線 AB の式を求めます。

(2) 三角形 AOB の面積を求めます。

(3) 線分 AC 上の点で、三角形 AOB = 三角形 APB となるような点 P の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 A, B の座標を求めます。

A の $x$ 座標は -3 なので、 $y = \frac{1}{2} (-3)^2 = \frac{9}{2}$ より、A の座標は $(-3, \frac{9}{2})$ です。

B の $x$ 座標は 2 なので、 $y = \frac{1}{2} (2)^2 = 2$ より、B の座標は $(2, 2)$ です。

直線 AB の式を $y = ax + b$ とすると、A, B の座標を代入して次の連立方程式が得られます。

$\frac{9}{2} = -3a + b$

$2 = 2a + b$

この連立方程式を解きます。2 式から 1 式を引くと:

$2 - \frac{9}{2} = 2a - (-3a)$

$-\frac{5}{2} = 5a$

$a = -\frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$ を $2 = 2a + b$ に代入すると:

$2 = 2(-\frac{1}{2}) + b$

$2 = -1 + b$

$b = 3$

よって、直線 AB の式は $y = -\frac{1}{2}x + 3$ です。

(2)

三角形 AOB の面積を求めます。原点を O とします。

直線 AB の $y$ 切片は 3 なので、点 (0, 3) を D とします。

三角形 AOB の面積は、三角形 AOD の面積と三角形 BOD の面積の和で求められます。

三角形 AOD の面積は、$\frac{1}{2} \times OD \times (Aのx座標の絶対値) = \frac{1}{2} \times 3 \times |-3| = \frac{9}{2}$ です。

三角形 BOD の面積は、$\frac{1}{2} \times OD \times (Bのx座標の絶対値) = \frac{1}{2} \times 3 \times |2| = 3$ です。

三角形 AOB の面積は、$\frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{2} + \frac{6}{2} = \frac{15}{2}$ です。

(3)

点 C の座標は (-3, 0) です。

線分 AC の式を求めます。AC は $x = -3$ という直線になるので、点 P も $x = -3$ 上にあります。点 P は AC 上の点なので、$x = -3$ です。三角形 AOB と三角形 APB の面積が等しくなるような点 P の $y$ 座標を求めます。

三角形 AOB の面積は $\frac{15}{2}$ であるので、三角形 APB の面積も $\frac{15}{2}$ になる必要があります。

三角形 APB の底辺を AB と考えると、AB の長さは一定なので、三角形 APB の高さが、三角形 AOB の高さと同じである必要があります。つまり、点 P は、直線 AB と平行で、O を通る直線上にあります。

直線 AB の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。原点 O を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x$ です。

点 P の $x$ 座標は -3 なので、点 P の $y$ 座標は $y = -\frac{1}{2}(-3) = \frac{3}{2}$ です。

したがって点 P の座標は $(-3, \frac{3}{2})$ です。

点Pは線分AC上に存在する必要があるため、線分ACはx=-3であり、点Aのy座標は9/2、点Cのy座標は0。

点Pのy座標は9/2と0の間に存在する必要がある。

三角形APBの面積が三角形AOBの面積と等しくなるには、Pはx=-3上でyが0より大きい位置になくてはならない。

三角形APBの面積=15/2より

1/2*ABの長さ*線ABとPの距離=15/2

三角形AOBの面積をABを底辺とした時の高さは、ABの式から計算すると、

点と直線の距離の公式より

|(-1/2)*0 -0 + 3| / sqrt((-1/2)^2 + (-1)^2)

= 3 / sqrt(5/4)

= 3 / (sqrt(5)/2)

= 6 / sqrt(5)

よって

1/2*ABの長さ*線ABとPの距離 = 15/2

線ABとPの距離 = (15/2) / (ABの長さ/2)

ABの長さ = sqrt((2+3)^2 + (2-9/2)^2)

= sqrt(25 + (5/2)^2)

= sqrt(25 + 25/4)

= sqrt(125/4)

= (5sqrt(5))/2

線ABとPの距離 = (15/2) / ((5sqrt(5))/4)

= (15*4) / (2*5*sqrt(5))

= 6 / sqrt(5)

点Pから線ABまでの距離がOから線ABまでの距離と等しいため線ABと平行な線上にPが存在する。点Pはx=-3の直線上に存在するため、条件を満たすPは2つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 3$

(2) $\frac{15}{2}$

(3) $(-3, \frac{3}{2})$