数列の階差数列が与えられたときに、もとの数列の一般項を求める問題です。具体的には、次の2つの数列について一般項を求めます。 (1) 1, 4, 7, 10, 13, ... (初項 $a_1 = 1$) (2) 1, 2, 4, 8, 16, ... (初項 $a_1 = 2$)

1. 問題の内容

数列の階差数列が与えられたときに、もとの数列の一般項を求める問題です。具体的には、次の2つの数列について一般項を求めます。

(1) 1, 4, 7, 10, 13, ... (初項 $a_1 = 1$)

(2) 1, 2, 4, 8, 16, ... (初項 $a_1 = 2$)

2. 解き方の手順

(1)

与えられた数列 1, 4, 7, 10, 13, ... は等差数列であり、公差は3です。したがって、階差数列 $b_n = 3$ となります。もとの数列の一般項 $a_n$ は、初項 $a_1$ と階差数列 $b_n$ を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (n >= 2)

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3$ (n >= 2)

$a_n = 1 + 3(n-1)$ (n >= 2)

$a_n = 3n - 2$ (n >= 2)

$n = 1$ のとき、$a_1 = 3(1) - 2 = 1$ となり、与えられた初項と一致するので、

$a_n = 3n - 2$ (n >= 1)

(2)

与えられた数列 1, 2, 4, 8, 16, ... は等比数列であり、公比は2です。したがって、$a_n = 2^{n-1}$ で表されます。階差数列 $b_n$ は、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$ となります。もとの数列の一般項 $a_n$ は、初項 $a_1$ と階差数列 $b_n$ を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (n >= 2)

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ (n >= 2)

$a_n = 2 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1}$ (n >= 2)

$a_n = 2 + 2^{n-1} - 1$ (n >= 2)

$a_n = 2^{n-1} + 1$ (n >= 2)

$n=1$のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、与えられた初項と一致するので、

$a_n = 2^{n-1} + 1$ (n >= 1)

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 2$

(2) $a_n = 2^{n-1} + 1$