問題は、以下の数列の和 $S$ を求めることです。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

問題は、以下の数列の和 $S$ を求めることです。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、等比数列の和の公式を利用する方法を考えます。

まず、$S$ を以下のように書きます。

$S = \sum_{k=1}^{n} (3k-2) \cdot 2^{k-1}$

次に、$2S$ を計算します。

$2S = \sum_{k=1}^{n} (3k-2) \cdot 2^{k}$

$S$ から $2S$ を引くと、

$S - 2S = \sum_{k=1}^{n} (3k-2) \cdot 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} (3k-2) \cdot 2^{k}$

$-S = (1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n})$

$-S = 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2 - (3(n-1)-2)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (3n-2) \cdot 2^n$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n-1} r^k = \frac{r(r^{n-1}-1)}{r-1}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 3(2^n - 2) - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 - 3n \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n$

$-S = -5 + 5 \cdot 2^n - 3n \cdot 2^n$

$S = 5 - 5 \cdot 2^n + 3n \cdot 2^n$

$S = 5 + (3n-5) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$