数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ および漸化式 $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$ で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = \frac{1}{2}$ および漸化式 $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$ で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を逆数で表すことで、扱いやすい形に変形する。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$

ここで $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、漸化式は

$b_{n+1} = 3b_n + 2$

となる。また、$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ である。

次に、この漸化式を解く。

$b_{n+1} = 3b_n + 2$ を $b_{n+1} + \alpha = 3(b_n + \alpha)$ の形に変形することを考える。

$b_{n+1} + \alpha = 3b_n + 3\alpha$ より、$\alpha = 3\alpha - 2$ を解くと、

$2\alpha = -2$

$\alpha = -1$

したがって、

$b_{n+1} - 1 = 3(b_n - 1)$

となる。ここで、$c_n = b_n - 1$ とおくと、

$c_{n+1} = 3c_n$

となり、これは公比が3の等比数列である。

$c_1 = b_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ であるから、

$c_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

したがって、$b_n - 1 = 3^{n-1}$ より、

$b_n = 3^{n-1} + 1$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ であったから、

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{3^{n-1} + 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3^{n-1} + 1}$