数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式は $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$ で定義されています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初項 $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、漸化式は $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形して扱いやすい形にします。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$

両辺の逆数をとると、

$a_{n+1} = \frac{1}{\frac{3}{a_n} + 2} = \frac{a_n}{3 + 2a_n}$

次に、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおきます。すると、$b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ であり、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = 3 + 2a_n = 3 + \frac{2}{b_n}$

$b_{n+1} = 3 + 2(\frac{1}{b_n})$ となりました。

次に $b_{n+1} - \alpha = 2(\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\alpha})$ となるように $\alpha$ を求めます。

$b_{n+1} = 3 + \frac{2}{b_n}$ の不動点方程式を考えると

$\alpha = 3 + \frac{2}{\alpha}$

$\alpha^2 = 3\alpha + 2$

$\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$

$\alpha = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

この形では解けないと判断し、$b_{n+1} = 3 + \frac{2}{b_n}$ を変形します。

$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 + \frac{2}{a_n}$ より、

$\frac{1}{a_{n+1}} + 1 = 4 + \frac{2}{a_n} = 2(\frac{2}{1} + \frac{1}{a_n})$

もう一度 $b_n = \frac{1}{a_n}$ に戻り、式変形を続けます。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3}{a_n} + 2$

$b_{n+1} = 3b_n + 2$

$b_{n+1} + 1 = 3b_n + 3$

$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$

ここで、$c_n = b_n + 1$ とおくと、$c_1 = b_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ であり、

$c_{n+1} = 3 c_n$ となります。

これは等比数列なので、$c_n = c_1 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

よって、$b_n = c_n - 1 = 3^n - 1$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{3^n - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3^n - 1}$