数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 $a_1 = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$ (n = 1, 2, 3, ...)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

$a_1 = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$ (n = 1, 2, 3, ...)

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおいて書き換えます。

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}}$

$b_n = \frac{1}{a_n}$

与えられた漸化式は、

$b_{n+1} = b_n + 2$

これは、数列 $\{b_n\}$ が初項 $b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$、公差 $2$ の等差数列であることを示しています。

したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = b_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)2 = 2 + 2n - 2 = 2n$

$b_n = 2n$ より、$a_n = \frac{1}{b_n}$ であるから、

$a_n = \frac{1}{2n}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2n}$