等差数列 $\{a_n\}$ の第10項が50、第25項が-55であるとき、初項 $a_1$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大になるような $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ の第10項が50、第25項が-55であるとき、初項 $a_1$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大になるような $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、

$a_{10} = a_1 + 9d = 50$

$a_{25} = a_1 + 24d = -55$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求める。

2つの式を引き算すると、

$(a_1 + 24d) - (a_1 + 9d) = -55 - 50$

$15d = -105$

$d = -7$

$d = -7$ を $a_1 + 9d = 50$ に代入すると、

$a_1 + 9(-7) = 50$

$a_1 - 63 = 50$

$a_1 = 113$

したがって、初項は $a_1 = 113$、公差は $d = -7$ である。

次に、$S_n$ が最大となる $n$ を求める。$a_n$ が初めて負になる $n$ を求める。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 113 + (n-1)(-7) = 113 - 7n + 7 = 120 - 7n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$120 - 7n < 0$

$120 < 7n$

$n > \frac{120}{7} \approx 17.14$

よって、$a_{17} > 0$ であり、$a_{18} < 0$ である。

したがって、$S_n$ が最大となるのは $n = 17$ のときである。

3. 最終的な答え

初項 $a_1$ は $113$ である。

$S_n$ が最大になるのは $n = 17$ のときである。